Ejercicio 2.119 Suponga que se lanzan repetidamente dos dados y se cuenta la suma de las caras hacia arriba en cada lanzamiento. Determine la probabilidad de los siguientes eventos:

a) La suma 3 sale antes que la suma 7.

b) La suma 4 sale antes que la suma 7.

Solución:

a) Considere los eventos:

S_{j} = {Suma es j}
T_{k} = {El juego termina en el ensayo k}
G_{3} = {Sale el 3 antes que el 7}

Entonces,

G_{3} = ⋃_{k=1}^{∞}(S_{3} ∩ T_{k})

con los eventos (S_{3} ∩ T_{k}) ajenos. Luego,

ℙ(G_{3}) = ∑_{k=1}^{∞} ℙ(S_{3} ∩ T_{k})

Ahora bien, ℙ(S_{3}) = 2/36 y ℙ(S_{7}) = 6/36. Entonces, ℙ({Suma 3 ó 7}) = 2/36+6/36 = 8/36, por lo que la probabilidad de que el juego no se decida en un lanzamiento de los dados es 1−8/36 = 28/36. Entonces,

ℙ(S_{3} ∩ T_{k}) = \underbrace{(\frac{28}{36}) ⋯ (\frac{28}{36})}_{k−1 términos} \frac{2}{36} = \frac{2}{36} (\frac{28}{36})^{k−1}

y por lo tanto, la probabilidad de que salga la suma 3 antes que la suma 7 es

ℙ(G_{3}) = \frac{2}{36} ∑_{k=1}^{∞} (\frac{28}{36})^{k−1} = \frac{2}{36} · \frac{1}{1 − \frac{28}{36}} = \frac{2}{36} \frac{36}{8} = \frac{1}{4}

b) De manera similar, la probabilidad de que salga primero S_{4} que suma S_{7} es

ℙ(G_{4}) = \frac{3}{36} ∑_{k=1}^{∞} (\frac{27}{36})^{k−1} = \frac{3}{36} · \frac{1}{1 − \frac{27}{36}} = \frac{3}{36} · \frac{36}{9} = \frac{1}{3}

Ejercicio 2.138 Descripción del juego Craps. Un jugador lanza un par de dados y anota la suma de puntos de las caras hacia arriba. Si en el primer lanzamiento el jugar suma un 7 o un 11, el jugador gana el juego. Si, en el primer lanzamiento el jugador obtiene una suma de 2, 3 o 12, el jugador pierde. Si el jugador lanza cualquier otra suma (4,5,6,8,9 ó 10), la suma se convierte en comodín. Ahora bien, si el jugador no gana ni pierde en el primer lanzamiento, entonces lanza repetidamente el par de dados hasta que sale el comodín ó sale el 7. El jugador gana si sale su comodín antes que el 7. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane el juego Craps?

Solución:

Considere los eventos:

A = {El jugador gana}
B_{i} = {La suma fue de i en el primer lanzamiento}
C_{k} = {Sale una suma de k antes que suma 7}

Entonces,

P (A) = ∑_{i=2}^{12} P (A ∩ B_{i})

Pero ℙ(A ∩ B_{2}) = ℙ(A ∩ B_{3}) = ℙ(A ∩ B_{12}) = 0. Se tiene también que

ℙ(A ∩ B_{7}) = ℙ(B_{7}) = \frac{6}{36} y ℙ(A ∩ B_{11}) = ℙ(B_{11}) = \frac{2}{36}

Además, por independencia de eventos se sigue que

ℙ(A ∩ B_{4}) = ℙ(C_{4} ∩ B_{4}) = ℙ(C_{4})ℙ(B_{4}) = \frac{1}{3} (\frac{3}{36}) = \frac{3}{36}

Similarmente,

ℙ(C_{5}) = ℙ(C_{9}) = \frac{4}{10}, ℙ(C_{6}) = ℙ(C_{8}) = \frac{5}{11}, ℙ(C_{10}) = \frac{3}{9}

Luego,

ℙ(A ∩ B_{5}) = ℙ(C_{5})ℙ(B_{5}) = \frac{2}{45} = ℙ(A ∩ B_{9})
ℙ(A ∩ B_{6}) = ℙ(C_{6})ℙ(B_{6}) = \frac{25}{396} = ℙ(A ∩ B_{8})
ℙ(A ∩ B_{10}) = ℙ(C_{10})ℙ(B_{10}) = \frac{1}{36}

Finalmente, sumando todos los términos se tiene que ℙ(A) = 0.493.

Referencia:

Wackerly, D.D., Mendenhall, W., and Scheaffer, R.L. (2002), Mathematical Statistics with Applications. 6th. Ed. Duxbury Press.

Respuestas por simulación utilizando R

a) Gana la suma 3 sobre la suma 7.

Número de juegos simulados = 20000
Prob{ Sale primero el 3 que el 7 } = 0.2453
Prob{ Sale primero el 7 que el 3 } = 0.7547
Número promedio de extracciones= 5.50675
Desviación estándar de extracciones= 3.9809

Figura 1: Histograma del número de lanzamientos hasta que sale el 3 antes que el 7. b) Gana la suma 4 sobre la suma 7.

Número de juegos simulados = 20000
Prob{ Sale primero el 4 que el 7 } = 0.3348
Prob{ Sale primero el 7 que el 4 } = 0.6652
Número promedio de extracciones= 5.0378
Desviación estándar de extracciones= 3.4827

Figura 2: Histograma del número de lanzamientos hasta que sale el 4 antes que el 7.

c) Juego de Craps.

Número de juegos simulados = 20000
Prob{ ganar} = 0.494
Prob{perder} = 0.506
Número promedio de extracciones= 3.35335
Desviación estándar de extracciones= 2.9362

Figura 3: Histograma del número de lanzamientos hasta ganar en el juego Craps.

Juego de dados 4

Código R

#======== Problema de Dados ==============================
cat("\n>>> Problema Gana la suma 3(4) sobre la suma 7 (Wackerly et al., 2008).\n")
cat("[Probabilidad de ganar]\n")
#=================================
if(1) {
#======
N <- 20000
K <- 4
output <- rep(NA,N)
n <- rep(1,N)
extract <- function() sample(seq(2,12),1,prob=c(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)/36)
tab <- rep(0,12)
tab[7] <- -1
tab[K] <- +1
for(i in seq(N)) {
    k <- 1
    fin <- FALSE
    while(!fin) {
        k <- k+1
        out <- tab[extract()]
        fin <- ifelse(out==0,FALSE,TRUE)
    }
        output[i] <- out
        n[i] <- k
}
cat("\nNúmero de juegos simulados =",N,"\n")
cat("Prob{ Sale primero el",K,"que el 7 } =",sum(output>0)/N,"\n")
cat("Prob{ Sale primero el 7 que el",K,"} =",sum(output<0)/N,"\n")
cat("Número promedio de extracciones=",nbar <- sum(n)/N,"\n")
cat("Desviación estándar de extracciones=",round(sqrt(sum(n^2)/N-nbar^2),4),"\n")
#rm(list=ls())
#======
}
#=================================
#=================================
cat("\n>>> Problema juego Craps (Wackerly et al., 2008).\n")
cat("[Probabilidad de ganar]\n")
if(1) {
#======
N <- 20000
output = rep(NA,N)
n <- rep(1,N)
extract <- function() sample(seq(2,12),1,prob=c(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)/36)
for(i in seq(N)) {
    comodin <- extract()
    if(any(comodin==c(7,11))) {
        output[i] <- +1
    } else if(any(comodin==c(2,3,12))) {
        output[i] <- -1
    } else {
        k <- 1
        fin <- FALSE
        tab <- rep(0,12)
        tab[7] <- -1
        tab[comodin] <- +1
        while(!fin) {
            k <- k+1
            out <- tab[extract()]
            fin <- ifelse(out==0,FALSE,TRUE)
        }
        output[i] <- out
        n[i] <- k
    }
}
#print(output)
#print(n)
cat("\nNúmero de juegos simulados =",N,"\n")
cat("Prob{ ganar} =",sum(output>0)/N,"\n")
cat("Prob{perder} =",sum(output<0)/N,"\n")
cat("Número promedio de extracciones=",nbar <- sum(n)/N,"\n")
cat("Desviación estándar de extracciones=",round(sqrt(sum(n^2)/N-nbar^2),4),"\n")
#rm(list=ls())
#======
}
#=================================