% ==============================================================================
\documentclass[10pt]{article}
% ==============================================================================

% ==============================================================================
\usepackage{amsmath,amsfonts,latexsym,geometry,enumerate,epsfig}
\usepackage[spanish, activeacute]{babel}
\spanishdecimal{.}
\usepackage[latin1]{inputenc}

\newcommand{\home}{../../..}
\usepackage{\home/TeX/local,\home/TeX/document}
% ==============================================================================

%-------------------------------------------------------------------------------
\def\doctitle{}
\def\topictitle{\textsc{Juego de dados}}
\def\theauthor{E. Barrios}
\def\course{\textsc{Probabilidad}}
\def\period{Agosto-Diciembre 2010}
%-------------------------------------------------------------------------------

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\renewcommand{\baselinestretch}{0.92}\normalsize
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
\item []{\bf Ejercicio 2.119} \quad Suponga que se lanzan repetidamente dos
dados y se cuenta la suma de las caras hacia arriba en cada lanzamiento.
Determine la probabilidad de los siguientes eventos:
\begin{enumerate}[\it a)]
\item La suma 3 sale antes que la suma 7.
\item La suma 4 sale antes que la suma 7.
\end{enumerate}

\Solucion:
\begin{enumerate}[\it a)]
\item
Considere los eventos:
\[\begin{array}{rcl}
S_j & = & \{\text{Suma es j}\} \\
T_k & = & \{\text{El juego termina en el ensayo $k$}\} \\
G_3 & = & \{\text{Sale el 3 antes que el 7}\} \\
\end{array} \]
Entonces,
\[
G_3 = \bigcup_{k=1}^{\infty}(S_3 \cap T_k)
\]
con los eventos $(S_3\cap T_k)$ ajenos. Luego,
\[
\Pr(G_3) = \sum_{k=1}^{\infty}\Pr(S_3\cap T_k)
\]
Ahora bien, $\Pr(S_3)=2/36$ y $\Pr(S_7)=6/36$. Entonces, $\Pr(\{\text{Suma 3
ó 7}\}) = 2/36 + 6/36 = 8/36$, por lo que la probabilidad de que el juego no
se decida en un lanzamiento de los dados es $1-8/36=28/36$. Entonces,
\[
\Pr(S_3\cap T_k) = \underbrace{\left(\frac{28}{36}\right)\cdots
    \left(\frac{28}{36}\right)}_{k-1\text{ términos}}\frac{2}{36}
    = \frac{2}{36}\left(\frac{28}{36}\right)^{k-1}
\]
y por lo tanto, la probabilidad de que salga la suma 3 antes que la suma 7 es
\[
\Pr(G_3) = \frac{2}{36}\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{28}{36}\right)^{k-1}
    = \frac{2}{36} \cdot \frac{1}{1-\frac{28}{36}}
    = \frac{2}{36} \frac{36}{8}
    = \frac{1}{4}
\]
\item
De manera similar, la probabilidad de que salga primero $S_4$ que
suma $S_7$ es
\[
\Pr(G_4) = \frac{3}{36}\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{27}{36}\right)^{k-1}
    = \frac{3}{36} \cdot \frac{1}{1-\frac{27}{36}}
    = \frac{3}{36} \cdot \frac{36}{9}
    = \frac{1}{3}
\]
\end{enumerate}

\medskip

\item []{\bf Ejercicio 2.138} \quad Descripción del juego \textsc{Craps}. Un
jugador lanza un par de dados y anota la suma de puntos de las caras
hacia arriba. Si en el primer lanzamiento el jugar suma un 7 o un 11, el
jugador gana el juego. Si, en el primer lanzamiento el jugador obtiene
una suma de 2, 3 o 12, el jugador pierde. Si el jugador lanza cualquier
otra suma (4,5,6,8,9 ó 10), la suma se convierte en \emph{comodín}. Ahora
bien, si el jugador no gana ni pierde en el primer lanzamiento, entonces
lanza repetidamente el par de dados hasta que sale el \emph{comodín} ó
sale el 7. El jugador gana si sale su \emph{comodín} antes que el 7.
¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane el juego \textsc{Craps}?

\Solucion:

Considere los eventos:
\[\begin{array}{rcl}
A & = & \{\text{El jugador gana}\} \\
B_i & = & \{\text{La suma fue de $i$ en el primer lanzamiento}\} \\
C_k & = & \{\text{Sale una suma de $k$ antes que suma 7}\} \\
\end{array} \]

Entonces,
\[
P(A) = \sum_{i=2}^{12}P(A\cap B_i)
\]
Pero $\Pr(A\cap B_2)=\Pr(A\cap B_3)=\Pr(A\cap B_{12})=0$.  Se tiene
también que
\[
\Pr(A\cap B_7)=\Pr(B_7)=\frac{6}{36}\quad \text{ y } \quad \Pr(A\cap
B_{11})=\Pr(B_{11})=\frac{2}{36}
\]
Además, por independencia de eventos se sigue que
\[ \Pr(A\cap B_4) =
\Pr(C_4\cap B_4) = \Pr(C_4)\Pr(B_4) = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{36}
\right)=\frac{3}{36}
\]
Similarmente,
\[ \Pr(C_5)=\Pr(C_9)=\frac{4}{10}, \quad
\Pr(C_6)=\Pr(C_8)=\frac{5}{11}, \quad \Pr(C_{10})=\frac{3}{9}
\]
Luego,
\[\begin{array}{rcccccl}
\Pr(A\cap B_5) &=& \Pr(C_5)\Pr(B_5) &=& \frac{2}{45} &=& \Pr(A\cap B_9) \\ [1ex]
\Pr(A\cap B_6) &=& \Pr(C_6)\Pr(B_6) &=& \frac{25}{396} &=& \Pr(A\cap B_8) \\ [1ex]
\Pr(A\cap B_{10})&=& \Pr(C_{10})\Pr(B_{10})  &=& \frac{1}{36}
\end{array} \]

Finalmente, sumando todos los términos se tiene que $\Pr(A) = 0.493$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Referencia:}
\noindent Wackerly, D.D., Mendenhall, W., and Scheaffer, R.L. (2002),
\emph{Mathematical Statistics with Applications}. 6th. Ed. Duxbury Press.


\bigskip

\subsection*{Respuestas por simulación utilizando \textsf{R}}
\begin{enumerate}[\it a)]

\item Gana la suma 3 sobre la suma 7.
\begin{verbatim}
Número de juegos simulados = 20000
Prob{ Sale primero el 3 que el 7 } = 0.2453
Prob{ Sale primero el 7 que el 3 } = 0.7547
Número promedio de extracciones= 5.50675
Desviación estándar de extracciones= 3.9809
\end{verbatim}
\begin{figure}[h!]
\centerline{\includegraphics[height=2.8in]{hist3}}
\caption{Histograma del número de lanzamientos hasta que sale el 3 antes que el 7.}
\end{figure}

\clearpage

\item Gana la suma 4 sobre la suma 7.
\begin{verbatim}
Número de juegos simulados = 20000
Prob{ Sale primero el 4 que el 7 } = 0.3348
Prob{ Sale primero el 7 que el 4 } = 0.6652
Número promedio de extracciones= 5.0378
Desviación estándar de extracciones= 3.4827
\end{verbatim}
\begin{figure}[h!]
\centerline{\includegraphics[height=2.8in]{hist4}}
\caption{Histograma del número de lanzamientos hasta que sale el 4 antes que el 7.}
\end{figure}

\item Juego de \textsc{Craps}.
\begin{verbatim}
Número de juegos simulados = 20000
Prob{ ganar} = 0.494
Prob{perder} = 0.506
Número promedio de extracciones= 3.35335
Desviación estándar de extracciones= 2.9362
\end{verbatim}
\begin{figure}[h!]
\centerline{\includegraphics[height=2.8in]{craps}}
\caption{Histograma del número de lanzamientos hasta ganar en el juego \textsc{Craps}.}
\end{figure}

\end{enumerate}

\clearpage

\subsection*{Código \textsf{R}}\scriptsize
\begin{verbatim}
#======== Problema de Dados ==============================
cat("\n>>> Problema Gana la suma 3(4) sobre la suma 7 (Wackerly et al., 2008).\n")
cat("[Probabilidad de ganar]\n")

#=================================
if(1) {
#======
N <- 20000
K <- 4

output <- rep(NA,N)
n <- rep(1,N)

extract <- function() sample(seq(2,12),1,prob=c(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)/36)

tab <- rep(0,12)
tab[7] <- -1
tab[K] <- +1
for(i in seq(N)) {
    k <- 1
    fin <- FALSE
    while(!fin) {
        k <- k+1
        out <- tab[extract()]
        fin <- ifelse(out==0,FALSE,TRUE)
    }
        output[i] <- out
        n[i] <- k
}
cat("\nNúmero de juegos simulados =",N,"\n")
cat("Prob{ Sale primero el",K,"que el 7 } =",sum(output>0)/N,"\n")
cat("Prob{ Sale primero el 7 que el",K,"} =",sum(output<0)/N,"\n")
cat("Número promedio de extracciones=",nbar <- sum(n)/N,"\n")
cat("Desviación estándar de extracciones=",round(sqrt(sum(n^2)/N-nbar^2),4),"\n")

#rm(list=ls())
#======
}
#=================================

#=================================
cat("\n>>> Problema juego Craps (Wackerly et al., 2008).\n")
cat("[Probabilidad de ganar]\n")
if(1) {
#======
N <- 20000

output = rep(NA,N)
n <- rep(1,N)

extract <- function() sample(seq(2,12),1,prob=c(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)/36)

for(i in seq(N)) {
    comodin <- extract()
    if(any(comodin==c(7,11))) {
        output[i] <- +1
    } else if(any(comodin==c(2,3,12))) {
        output[i] <- -1
    } else {
        k <- 1
        fin <- FALSE
        tab <- rep(0,12)
        tab[7] <- -1
        tab[comodin] <- +1
        while(!fin) {
            k <- k+1
            out <- tab[extract()]
            fin <- ifelse(out==0,FALSE,TRUE)
        }
        output[i] <- out
        n[i] <- k
    }
}
#print(output)
#print(n)
cat("\nNúmero de juegos simulados =",N,"\n")
cat("Prob{ ganar} =",sum(output>0)/N,"\n")
cat("Prob{perder} =",sum(output<0)/N,"\n")
cat("Número promedio de extracciones=",nbar <- sum(n)/N,"\n")
cat("Desviación estándar de extracciones=",round(sqrt(sum(n^2)/N-nbar^2),4),"\n")
#rm(list=ls())
#======
}
#=================================
\end{verbatim}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
